2021石家庄铁道大学高等代数研究生考试大纲

发布时间:2020-12-14 编辑:考研派小莉 推荐访问:
2021石家庄铁道大学高等代数研究生考试大纲

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2021石家庄铁道大学高等代数研究生考试大纲 正文

《高等代数》考试大纲

一、考试的总体要求
高等代数是数学与应用数学专业、信息与计算科学专业和统计学专业的一门重要的基础课,通过考试,考察学生对本课程的基本理论、基本方法和基本技能的掌握程度,考察学生抽象思维、逻辑推理的能力,应用所学知识分析、解决问题的能力,通过各学科综合平衡,选拔优秀学生入学深造。
二、考试的内容及考查比例
第一章、多项式(7%)
1.理解数域,多项式,整除,最大公因式,互素,不可约,k重因式,重因式的概念;了解多项式环,本原多式,字典排序法,对称多项式,初等对称多项式,齐次多项式,多项式函数等概念。
2.掌握整除的性质,带余除法定理,最大公因式定理,互素的判别与性质,不可约多项式的判别与性质,多项式唯一因式分解定理,余式定理,因式定理、代数基本定理,高斯引理,Eisenstein判别定理,对称多项式基本定理。
3.掌握无重因式的充要条件,判别条件,复数域、实数域及有理数域上多项式因式分解理论,有理多项式的有理根范围。
4.熟练运用辗转相除法,综合除法。
第二章、行列式(5%)
1.了解行列式的概念,理解行列式的子式,余子式及代数余子式的概念。
2.掌握行列式的性质,按行、列展开定理,Gramer法则,Laplace定理,行列式乘法公式。
3.熟练运用行列式的性质及展开定理计算行列式,掌握计算行列式的基本方法。
第三章、线性方程组(10%)
1.理解向量线性相关,向量组等价,极大无关组,向量组的秩,矩阵的秩,基础解系,解空间等概念。
2.掌握线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构。
3.熟练运用行初等变换求解线性方程组的方法。
第四章、矩阵(15%)
1.理解矩阵的概念,了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称阵、反对称阵的概念及其性质。
2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置,以及它们的运算规律。
3.理解逆矩阵的概念,掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充要条件。理解伴随矩阵的概念,掌握伴随矩阵的性质。
4.掌握矩阵的初等变换、掌握初等矩阵的性质,理解矩阵等价的概念,熟练运用初等变换法求矩阵的秩及逆矩阵。
5.理解分块矩阵,掌握分块阵的运算及初等变换。
第五章、二次型(5%)
1.理解二次型的概念及二次型的矩阵表示,了解二次型秩的概念,掌握二次型的标准形、规范形的概念及惯性定律。
2.掌握用合同变换、正交变换化二次型为标准形的方法。
3.掌握二次型和对应矩阵的正定、半正定、负定、半负定及其判别法。
第六章、线性空间(20%)
1.理解线性空间,子空间,生成子空间,基底,维数,坐标,过渡矩阵,子空间的和与直和等概念。了解线性空间同构的概念。
2.掌握基扩张定理,维数公式,掌握直和的充要条件。
3.熟练运用概念求基底,维数,坐标,过渡矩阵。
第七章、线性变换(18%)
1.理解线性变换,特征值,特征向量,特征多项式,特征子空间,不变子空间,线性变换的矩阵,相似变换,相似矩阵,线性变换的值域与核,Jardan标准形,最小多项式等概念。
2.掌握线性变换的性质,相似矩阵的性质,特征值、特征向量的性质,核空间与值域的性质,不变子空间的性质。掌握Hamilton-Cayley定理及将线性空间V分解成A–不变子空间的条件和方法,了解最小多项式理论。
3.熟练运用线性变换的矩阵表示方法,求线性变换的特征值、特征向量的方法,矩阵可相似对角化的条件与方法。掌握线性变换与矩阵“互化”的思想方法,会用各种特殊子空间解决相关问题。
第八章、--矩阵(5%)
1.理解--矩阵的秩,可逆--矩阵,--矩阵的初等变换,行列式因子,不变因子,初等因子等概念,了解--矩阵的标准形。
2.掌握--矩阵可逆的充要条件,--矩阵等价的充要条件,数字矩阵相似的充要条件,了解Jordan标准形的理论推导。
3.会求--矩阵的标准形及不变因子。会求数字矩阵的Jodan标准形。
第九章、欧几里得空间(15%)
1.掌握内积,欧氏空间,向量长度、夹角、距离、度量矩阵、标准正交基、正交补、正交变换、正交阵、对称变换、同构等概念。
2.掌握Schmidt正交化方法。掌握标准正交基的性质,正交变换的性质,正交阵的性质,对称变换的性质及标准形。
3.掌握实对称阵的特征值、特征向量的性质。熟练运用正交相似变换将实对称阵相似(合同)对角化。

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