2021北京信息科技大学814高等代数研究生考试大纲

发布时间:2020-12-28 编辑:考研派小莉 推荐访问:
2021北京信息科技大学814高等代数研究生考试大纲

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2021北京信息科技大学814高等代数研究生考试大纲 正文

北京信息科技大学
2021 年硕士研究生入学考试初试自命题科目考试大纲
考试科目名称:高等代数(含解析几何)
考试科目代码:814
一、 考试基本要求及适用范围概述
要求考生比较系统地熟悉高等代数(含解析几何)的
基本概念、掌握基本理论和方法。要求考生具有抽象思维
能力、逻辑推理能力、有较强的运算能力和综合运用所学
的知识分析问题和解决问题的能力。
本考试大纲适用于数学一级学科硕士研究生招生入
学考试初试。
二、 题型结构
试卷满分为 150 分,题型包含选择题、填空题、计算
题和证明题,其中解析几何占 15 分左右。
三、 考试内容
1. 多项式:一元多项式运算法则;带余除法定理,最
大公因式概念及求法(辗转相除法);不可约多项式概念和
因式分解唯一性定理;重因式、余数定理,零点(根)定理;
复/实系数多项式的因式分解定理;有理系数多项式、整系
1数多项式和本原多项式的概念、性质及相互关系,整系数
多项式的有理根的求法,Eisenstein 判别法。
2. 行列式:排列及对换的概念,排列奇偶性的概念及
判定;行列式的定义、性质及计算方法;行列式按一行(列)
展开,代数余子式,范德蒙德(Vandermonde)行列式;矩阵
的定义和初等行、列变换,矩阵与行列式的区别;克拉默
(Cramer)法则及应用。
3. 线性方程组:线性方程组的高斯(Gauss)消元法;
向量空间、线性相关、线性无关的概念与性质;矩阵的 k
级子式,矩阵秩的定义、性质及求法,向量组的极大线性
无关组的求法;线性方程组有解的判定、线性方程组解的
结构。
4. 矩阵:矩阵的基本运算,矩阵乘积的行列式与秩;
矩阵的逆的定义、性质及求法;矩阵分块的概念和分块矩
阵的运算,初等矩阵、初等变换与矩阵的秩,分块乘法的
初等变换及应用。
5. 二次型:二次型的矩阵表示,矩阵的合同关系,对
称矩阵的概念和性质;用非退化线性变换化二次型为标准
形,实、复二次型的规范型,惯性定理与惯性指数;正定、
半正定二次型的概念、性质及判别方法。
6. 线性空间:集合、映射的定义与运算性质;线性空
间的定义与简单性质;维数、基与坐标的概念和性质,基
变换与坐标变换;线性子空间的概念和性质,子空间的交
2与和的概念及性质,子空间的直和的定义及判别准则;线
性空间的同构,同构映射的概念和性质。
7. 线性变换:线性变换的定义、运算及其简单性质;
线性变换的矩阵及其性质;矩阵的相似关系的定义及其性
质;特征多项式、特征值与特征向量的定义、性质及计算;
线性变换在某一组基下的矩阵为对角矩阵的条件(即矩阵
相似于对角矩阵的条件);线性变换的值域与核的概念及
性质;不变子空间的概念,不变子空间与线性变换矩阵化
简之间的关系;若当(Jordan)标准形的概念及应用;最
小多项式的概念和性质及求法。
8. λ-矩阵:λ-矩阵的定义及其秩、逆和初等变换;λ-
矩阵在初等变换下的标准形;行列式因子、不变因子和初
等因子的定义、性质及求法;矩阵相似的条件;复矩阵若
当(Jordan)标准形的计算。
9. 欧几里得空间:欧几里得空间(含内积)的定义与
基本性质;欧几里得空间中基的度量矩阵,正交向量组、
正交基、标准正交基的定义、基本性质及相互关系,施密
特正交化方法;欧几里得空间的同构;正交变换、正交矩
阵的定义和性质;子空间的正交关系;对称变换、实对称
矩阵的性质及其标准形的求法。
10. 解析几何: 向量的线性关系;向量的内积、外积
和混合积;二重外积的计算及相关理论;平面和直线的各
种方程的建立及其相互关系,以及度量关系;了解图形与
3方程,柱面、锥面、旋转面方程的建立;二次曲面的方程
及其图形。
四、 参考书目
1. 北京大学数学系前代数小组编,王萼芳,石生明修
订,高等代数(第五版),高等教育出版社,2019 年 5 月。
2.谢冬秀,《解析几何》,科学出版社,2009。
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北京信息科技大学

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