2021西南石油大学数学分析专业研究生参考及考试大纲

发布时间:2020-11-18 编辑:考研派小莉 推荐访问:
2021西南石油大学数学分析专业研究生参考及考试大纲

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2021西南石油大学数学分析专业研究生参考及考试大纲 正文

考试科目名称:数学分析 
一、考试性质 
数学分析是硕士研究生入学考试科目之一。本考试大纲的制定力求反映招生
类型的特点,科学、公平、准确、规范地测评考生的相关基础知识掌握水平,考
生分析问题和解决问题及综合知识运用能力。应考人员可根据本大纲的内容和要
求自行学习相关内容和掌握有关知识。 
本大纲主要包括一元函数微分学和积分学、多元函数微分学和积分学、无穷
级数、实数理论等部分。考生应掌握数学分析的基本概念,理解数学分析的基本
理论,熟练掌握数学分析的各种运算,理解数学分析的基本思想和方法。
二、考试主要内容 
(一) 函数、极限与连续 
1、考试范围 
实数及其性质,确界及确界原理,函数的概念及有界性、单调性、周期性和
奇偶性;数列极限与函数极限的定义、性质及存在的条件,两个重要极限,无穷
小量和无穷大量的概念及其关系,无穷小量阶的比较,曲线的渐近线;一元函数
连续和一致连续的概念,函数间断点及其分类,连续函数的性质,初等函数的连
续性。 
2、基本要求 
(1)了解实数的概念,理解确界概念、确界原理;理解函数、复合函数、分
段函数和初等函数的概念;了解有界函数、单调函数、奇(偶)函数、周期函数。 
(2)理解数列极限概念,掌握收敛数列的性质及数列极限存在的条件。 
(3)理解函数极限的概念,掌握函数极限的性质;熟练掌握函数极限的存在条
件和两个重要极限;理解无穷小量的概念,熟练掌握等价无穷小量求极限的方法;
了解曲线的渐近线。 
(4)理解和掌握一元函数连续和一致连续的概念及其证明;熟练掌握函数间
断点及其分类和闭区间上连续函数的性质;了解反函数的连续性,理解复合函数
的连续性,初等函数的连续性。 
(二) 一元函数微分学 
1、考试范围 
导数和微分的概念,导数的几何意义,函数的可导性与连续性之间的关系,
平面曲线的切线和法线;导数和微分的四则运算,基本初等函数的导数,复合函
数、反函数以及参数方程所确定的函数的微分法,高阶导数;微分中值定理,洛
必达法则,泰勒公式,函数单调性的判别,函数的极值,函数图形的凹凸性、拐
点及渐近线,函数的最大值与最小值。 
2、基本要求 
(1)理解导数的概念和几何意义,掌握单侧导数、可导性与连续性的关系,会
求平面曲线的切线方程和法线方程。 
(2)熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则,掌握基本初等函数
的导数公式,会求分段函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数。 
(3) 理解高阶导数的概念,掌握莱布尼兹公式,会求简单函数的高阶导数;
理解微分和高阶微分的概念,会求函数的微分。 
 (4)理解和掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒公式,熟
练掌握用洛必达法则求未定式值的方法。 
 (5)理解函数极值的概念,掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,
掌握函数的最大值和最小值的求法及其应用。 
(6)理解凹凸函数的概念,掌握用导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图
形的拐点,了解函数图形的描绘。 
(三) 一元函数积分学 
1、考试范围 
原函数和不定积分的概念,不定积分基本性质,基本积分公式,定积分的概
念和基本性质,积分中值定理,变限积分及其导数,牛顿-莱布尼茨公式,不定
积分和定积分的换元积分法与分部积分法,有理函数、三角函数的有理式和简单
无理函数的积分,反常积分及其收敛判别法;平面图形的面积,旋转体的体积,
平面曲线的弧长与曲率,旋转曲面的面积。 
2、基本要求 
(1)理解原函数和不定积分的概念,熟练掌握基本初等函数的不定积分;熟
练掌握换元积分法与分部积分法;掌握有理函数、简单的无理函数与三角有理函
数的不定积分。 
 (2)理解定积分的概念和可积准则;掌握常用的可积函数类、定积分的性质
及积分中值定理;理解变限积分的概念与原函数存在定理。熟练掌握计算定积分
的牛顿-莱布尼兹公式、换元公式和分部公式。 
(3)掌握用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积、平面曲线的弧长、
旋转面的面积;了解定积分在物理上的应用。 
(4)理解无穷积分,瑕积分的概念;掌握无穷积分,瑕积分的性质和收敛判
别法。
(四) 多元函数微分学 
1、考试范围 
多元函数的概念,二元函数的极限、累次极限与连续的概念,有界闭域上二
元连续函数的性质;多元函数的偏导数和全微分,多元复合函数、隐函数、隐函
数组的求导法,空间曲线的切线和法平面,曲面的切平面和法线,多元函数的极
值和条件极值、最大值和最小值。 
2、基本要求 
(1)了解多元函数的概念,理解和掌握二元函数的极限、累次极限、连续性
概念及其关系,了解有界闭区域上二元连续函数的性质。 
 (2)理解偏导数与全微分的概念,掌握全微分、偏导数、连续之间的关系;
熟练掌握偏导数和全微分的计算,会用可微的定义判断多元函数是否可微;熟练
掌握复合函数微分的计算。 
 (3)了解方向导数和梯度的概念及其相互关系;理解二元函数极值的必要和
充分条件,掌握二元函数极值的计算。 
(4)了解隐函数的存在条件与结论,掌握隐函数导数的求法;了解隐函数组
的概念及隐函数组定理,掌握隐函数组偏导数的计算。 
(5)掌握曲线的切线方程和法平面方程,曲面的切平面方程和法线方程的求
法;熟练掌握条件极值的计算,会求多元函数的最大值和最小值。 
(五) 多元函数积分学 
1、考试范围 
 含参量正常积分的概念及其性质,含参量反常积分一致收敛性概念、性质及
其判别方法;二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用;两类曲线积分的
概念、性质及计算,两类曲线积分的关系,格林公式,平面曲线积分与路径无关
的条件,二元函数全微分的原函数;两类曲面积分的概念、性质及计算,两类曲
面积分的关系,高斯公式,斯托克斯公式。 
2、基本要求 
(1)掌握含参量正常积分的概念及其性质;理解含参量反常积分一致收敛性
概念和性质;熟练掌握含参量反常积分一致收敛性的判别方法;了解欧拉积分。 
(2)理解二重积分和三重积分的概念和性质,熟练掌握二重积分和三重积分
的计算。 
(3)理解两类曲线积分的概念和性质,掌握两类曲线积分的计算;了解两类
曲线积分的关系,熟练掌握格林公式的应用, 会运用曲线积分与路径的无关性,
会求二元函数全微分的原函数。 
(4)理解两类曲面积分的概念和性质,掌握两类曲面积分的计算;了解两类
曲面积分的关系;熟练掌握高斯公式的应用,会用斯托克斯公式计算曲线积分。 
(5)了解曲面的面积、物体的重心、转动惯量与引力的计算。 
(六) 无穷级数 
1、考试范围 
常数项级数收敛与发散的概念,级数的基本性质与收敛的必要条件,柯西准
则;正项级数收敛性的判别法,交错级数与莱布尼茨定理,任意项级数的绝对收
敛与条件收敛;函数列与函数项级数一致收敛性的概念,一致收敛函数列与函数
项级数的性质,函数列与函数项级数一致收敛性判别法;幂级数及其收敛半径、
收敛区间和收敛域,幂级数的和函数,函数的幂级数展开式;函数的傅里叶系数
与傅里叶级数,收敛定理及其证明,函数在[ , ] ?l l 上的傅里叶级数,函数在[0, ]l 上
的正弦级数和余弦级数。 
2、基本要求 
(1)理解数项级数收敛性的定义和收敛级数的性质,熟练掌握掌握判别正项
级数敛散性的各种方法,理解收敛级数、绝对收敛级数和条件收敛级数的关系;
掌握交错级数的莱布尼兹判别法。 
(2)理解函数列与函数项级数一致收敛性的概念;掌握一致收敛函数列与函
数项级数的连续性,可积性,可微性;掌握函数列与函数项级数一致收敛的柯西
准则、维尔斯特拉斯判别法、狄利克雷判别法和阿贝尔判别法。 
 (3)理解幂级数的概念和性质,熟练掌握幂级数收敛半径、收敛范围及和函
数的求法; 掌握泰勒级数和麦克劳林展开公式,五种基本初等函数的幂级数展
开。 
(4)理解三角函数系的正交性与函数的傅里叶级数的概念,掌握傅里叶级数
的收敛定理;掌握以2l 与2? 为周期的函数展开式,偶函数和奇函数的傅里叶的
展开,正弦级数和余弦级数;了解收敛定理的证明。 
(七) 实数理论 
1、考试范围 
区间套定理,聚点定理,有限覆盖定理及其证明。 
2、基本要求 
 (1)理解区间套定理,聚点定理,有限覆盖定理的条件和结论。 
 (2)了解区间套定理,聚点定理,有限覆盖定理的证明思路。 
三、考试形式和试卷结构 
1、考试时间和分值 
考试时间为 180 分钟,试卷满分为 150 分。 
2、考试题型结构 
(1)计算题:根据题目内容完成相应的求解,要求给出具体计算过程。 
(2)讨论题:根据题目要求讨论其描述问题是否正确,要求给出具体讨论过程。 
(3)证明题:根据题目要求证明其描述问题的正确性,要求给出具体证明过程。 
四、参考书目 
1、《数学分析》(第四版),华东师范大学数学系编,高等教育出版社,2011 
西南石油大学

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