2021浙江海洋大学613高等代数研究生考试大纲

发布时间:2021-01-28 编辑:考研派小莉 推荐访问:
2021浙江海洋大学613高等代数研究生考试大纲

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2021浙江海洋大学613高等代数研究生考试大纲 正文

613《高等代数》

一、考查目标
“高等代数”是数学类专业的基础课,它是研究线性系统和线性结构的一门数学学科,是几乎所有数学后续课程的先修课程, 并且在自然科学的各个分支中有广泛而深刻的应用。该课程考查考生对高等代数的基本概念、主要理论、重要方法的掌握程度,同时考查考生的数   学抽象思维、逻辑推理及运算求解能力,提高分析问题、解决问题能力。
二、试卷结构
 
1、题型结构
 
填空题(45 分)、解答题(105 分),共计 150 分。
 
2、 内容结构
考试内容主要包括多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵理论、二次型、线性空间、  线性变换、λ-矩阵、欧氏空间等九个部分,其中每个部分分值比例约在 10%—20%。
三、考试内容和要求
(一)多项式理论: 多项式的整除,最大公因式,多项式的互素,不可约多项式与因式分解,重因式重根的判别,多项式函数与多项式的根。
重点掌握:重要定理的证明,如多项式的整除性质,不可约多项式的性质, 整系数多项式的因式分解定理等。运用多项式理论证明有关问题,如与多项式的互素和不可约多项式的   性质有关问题的证明与应用以及用多项式函数方法证明有关的问题。
(二)行列式: 行列式的定义、性质和常用计算方法(如:三角形法、加边法、降阶法、递推法、按一行一列展开法、Laplace 展开法等)。
重点掌握:n 阶行列式的计算及应用。
(三)线性方程组:向量组线性相(无)关的判别。向量组极大线性无关组的性质、向量组之间秩的大小关系、矩阵的秩、Cramer 法则,线性方程组有(无)解的判别定理、齐次线性方程组有非零解条件(用系数矩阵的秩进行判别、用行列式判别、用方程个数判别)、   基础解系的计算及其性质、通解的求法,非齐次线性方程组的解法和解的结构。
重点掌握:向量组线性相(无)关的判别、向量组之间秩与矩阵的秩、齐次线性方程组  有非零解条件及基础解系的性质、非齐次线性方程组解的结构与其计算。
(四)矩阵理论:矩阵的运算,矩阵的初等变换与初等矩阵的关系及其应用(求解线性  方程组、求逆矩阵、求向量组的秩)、矩阵的等价标准形、矩阵可逆的条件(与行列式、矩阵的秩、初等矩阵的关系)、伴随矩阵及其性质、分块矩阵、矩阵的常用分解(如:等价分解,满秩分解,实可逆阵的正交三角分解等),几种特殊矩阵的常用性质(如:对称矩阵与反对称矩阵,伴随矩阵、幂等矩阵,幂零矩阵,正交矩阵等)。
重点掌握:矩阵的逆与伴随矩阵的性质与求法,应用矩阵理论解决一些相关问题。


(五)二次型理论:化二次型为标准形和规范形,实二次型在合同变换之下的规范型以   及在正交变换之下的标准型的求法、惯性定律的应用,正定、半正定矩阵的判别及应用、正   定矩阵的一些重要结论及其应用。
重点掌握:正定和半正定矩阵有关的证明,实二次型在合同变换之下的规范型以及在正  交变换之下的标准型的计算。
(六)线性空间:线性空间、子空间的定义及性质、求线性空间中向量组的秩、求线性
(子)空间的基与维数的方法、基扩充定理,维数公式,基变换与坐标变换,生成子空间,   子空间直和,一些常见的子空间(线性方程组解的解空间、矩阵空间、多项式空间、函数空间、线性变换的特征子空间和不变子空间)。
重点掌握:向量组的线性相关与线性无关的综合证明,求线性(子)空间的基与维数的  方法,维数公式的证明及应用,特别是子空间直和的有关证明。
(七)线性变换:线性变换的定义与运算,线性变换与 n 阶矩阵的对应定理,矩阵的特征多项式(包括最小多项式)及其有关性质,求线性变换的矩阵和特征值以及特征向量的方   法,线性无关特征向量的判别及最大个数,实对称矩阵的特征值和特征向量的性质,特征子   空间,不变子空间,核与值域的定理. 线性变换(包括矩阵)可对角化的条件,Hamilton- Caylay 定理。
重点掌握:线性变换(包括矩阵)的对角化,求线性变换的矩阵和特征值以及特征向量  的方法,线性变换(矩阵)的特征值以及特征向量的性质,线性变换的核与值域。
(八)λ-矩阵:λ-矩阵的初等变换,λ-矩阵的标准型,行列式因子,不变因子,初等因子,三种因子之间的关系,Jordan 标准型理论。
重点掌握:求矩阵的三种因子、Jordan 标准型。
(九)欧氏空间: 内积和欧氏空间的定义及简单性质(柯西-施瓦兹不等式,三角不等式,勾股定理等)。度量矩阵与标准正交基的求法以及性质的证明和应用,正交变换(正交矩阵)的等价条件,对称变换,求正交矩阵 T,使实对称矩阵 A 正交相似于对角矩阵。
重点掌握:欧氏空间的概念,标准正交基,Schmidt 正交化方法,正交变换和对称变换。
 
四、推荐书目:
1、《高等代数》(第四版)北京大学编,高等教育出版社,2013 年;
2、《高等代数》(第二版)黄廷祝等编,高等教育出版社,2016 年。

浙江海洋大学

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