2021河南工业大学高等代数专业研究生考试大纲 正文

一、要求和知识点
1. 一元多项式
（1）考试要求
.理解数域的概念。
.掌握一元多项式的运算规律，掌握整除的概念和性质，并会运用带余除法。
.掌握辗转相除法，并会求最大公因式，掌握互素的概念和性质。
.掌握不可约多项式的概念和性质，理解因式分解定理。
.掌握重因式的概念和判别。
.理解多项式函数概念，掌握余数定理。
.掌握实系数、复系数和有理系数多项式的因式分解及判别法。
（2）知识点
一元多项式，因式分解，整除，有理系数多项式，最大公因式，重因式等
2. 行列式和矩阵
（1）考试要求
.理解行列式的概念和性质。
.掌握常见行列式的计算方法。
.理解矩阵的概念、掌握单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、对称矩阵及其性质。
.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置、方阵的幂与方阵的乘积的行列式以及它们的运算规则，并会进行计算。
.掌握矩阵的初等变换，初等矩阵的概念，并会用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵。
.掌握逆矩阵的概念及性质，以及矩阵可逆的条件，掌握利用伴随矩阵求逆矩阵的方法。
.熟悉分块矩阵及其运算。
（2）知识点
行列式的概念和性质，行列式的计算，矩阵的概念、矩阵的加、减、乘等运算，数量矩阵，矩阵的转置，矩阵乘积的行列式与秩，逆矩阵，矩阵的分块，初等矩阵，矩阵的等价，分块矩阵乘法的初等变换。
3. 向量组的线性相关性
（1）考试要求
.理解维向量空间，向量的线性组合与线性表示的概念。
.理解线性相关、线性无关的定义，并会应用向量组线性相关，无关的有关性质及判别法。
.理解向量组的极大无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大无关组及秩。
.理解向量组等价的概念。
.理解矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。
（2）知识点
线性组合，线性相关，线性无关，向量组和矩阵的秩。
4. 线性方程组
（1）考试要求
.了解消元法求解线性方程组。
.理解齐次和非齐次线性方程组的解的特点。
.掌握判定线性方程组解的情况的方法。
.理解线性方程组解的结构。
（2）知识点
消元法,向量空间，线性方程组有解判别定理，线性方程组解的结构，基础解系。
5. 二次型
（1）考试要求
.掌握二次型及其矩阵表示，理解二次型秩的概念。
.掌握合同变换和合同矩阵的概念，理解二次型的标准形，规范形的概念，了解惯性定性及规范形的唯一性。
.掌握配方法和正交变换法化二次型为标准形的方法。
.掌握正定二次型和正定矩阵的概念及判别。
（2）知识点
线性替换，n元二次型，标准形，二次型的矩阵，规范形，惯性定理，正定二次型。
6. 线性空间
（1）考试要求
.掌握线性空间定义与性质。
.掌握线性空间的维数，基与坐标的概念和求法。
.理解基变换与坐标变换的概念，会求过渡矩阵。
.理解子空间的概念，掌握子空间的性质及生成的条件。
.掌握两个子空间的交与和的概念及性质。
.了解线性空间的同构的概念。
（2）知识点
线性空间的定义与简单性质，维数，基与坐标，基变换与坐标变换，线性子空间，子空间的交与和，线性空间的同构。
7. 线性变换
（1）考试要求
.理解线性变换的定义和运算。
.掌握线性变换的矩阵求法。
.掌握线性变换或矩阵的特征值与特征向量。
.掌握矩阵的相似对角化问题。
.理解线性变换的值域与核。
.掌握不变子空间的概念和证明方法。
（2）知识点
线性变换的定义，运算，矩阵，线性变换的值域，核，线性变换的矩阵在某组基下的矩阵是对角矩阵的条件，不变子空间。
8. -矩阵
（1）考试要求
.了解多项式矩阵与矩阵多项式的关系，-矩阵等价与矩阵相似的关系。
.掌握行列式因子、不变因子、初等因子的概念与计算。
.掌握行列式因子与标准型的对应，初等因子组与Jordan标准形的对应。
.掌握-矩阵可逆的定义与判别条件.会计算-矩阵的标准形，复系数矩阵的Jordan标准形。
（2）知识点
-矩阵的相关概念、等价以及判定；行列式因子、不变因子、初等因子的相关概念与应用；-矩阵的标准形与Jordan标准形。
9. 欧氏空间
（1）考试要求
.理解欧氏空间的定义及性质。
.理解标准正交基的定义及判别方法。
.理解子空间的定义和正交补的求法。
.掌握正交变换和对称变换的判别条件。
（2）知识点
欧氏空间的概念，标准正交基，子空间，正交变换，对称变换。
二、教材及其参考书
[1] 《高等代数》北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编，王萼芳 石生明 修订，高等教育出版社，出版年2003.
[2]《高等代数》王萼芳 编．高等教育出版社，出版年2009.
[3]《高等代数选讲》，张同斌，万建军主编，合肥工业大学出版社，2009

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